【好多人唔明，但有效提升投資回報既方法】

今篇文講一個好多人聽過，但唔係深入明白既一個有效提高投資回報既方法。因為今次既technical野比較多，我長話短說。

其實要提升portfolio回報，只要搵到:

1.有足夠generalization能力既交易因子

2.應用係足夠多的assets上

回報其實就係咁黎，唔洗諗太複雜。你可能會話，咁既因子唔易搵，但我係industry入面見過唔少PM既Long/Short模型個「囊」就係: 搵到十幾個有效區分到好既股票 以及 十幾個有效區分唔好既股票，去做long/short，回報通常就係咁黎。當然，風險方面要仔細調節，但方向大家都係差唔多。舉例，分好股票既因子可能係ROE 或者 PE，分壞股票既因子可能係 short interest level 或者 idiosyncractic volatility of stocks in recent N periods 對比 N - M periods，越高代表而家隻股票越危險越易回撤。如果你有興趣想知行內用開邊啲因子，留言係帖+俾個like我PM你。

如果您係唔太鐘意technical野，今次篇文您得到上面既一個方向做guide就已經好足夠。我都成日講，好多時做trade/research唔成功，一可能係未盡力做，二係錯方向，而錯方向永遠係大多數。

好喇，之前幾篇提過多因子投資，簡單講過下交易因子同Information coefficient (IC)。今日會再講多啲相關內容，有興趣既朋友請重溫之前既posts。

你可能會諗，我地唔係第一篇alpha文章已經示範過，通常一個因子處於佢自己 rolling (N個periods) 的0-10th percentile 或者 90-100th percentile 既時侯，就係佢最有預測能力既時侯? 之後就分組(grouping) 去plot cumulative returns curves 去睇有無靚仔45度curve就可以，點解仲要學更多交易因子同IC既內容? 

答案: 上面講既group + plot curve 係應用係一個asset，今日講既方法係應用係成個portfolio of assets，點樣提升成個portfolio既回報。

答定幾位朋友先，之前講過黎近會有個新策略分享，但突然心血來潮先寫左而篇先。話說因為最近分享左自己以前自己做既筆記比啲juniors睇，先知原來大家聽完咩係IC之後，其實係應用層面上都係好表面，亦唔理解對portfolio returns 上有咩真正影響。今日同大家詳解。

如果你有睇過 Fundamental Law of Active Management 或者 Quantitative Equity Portfolio Management: An Active Approach to Portfolio Construction and Management，你對 Information Coefficient (IC) 應該好熟悉。IC既意思係 cross sectional correlation of 2樣野，在time t 時計的 Z-scores 同 time t+1 時的回報 (time t+1 回報即用 time t+1 及 time t 的價格計出)。你可能會問咁 cross sectional 係咩意思? 簡單講就係係一個時間點去比較既意思。例如cross sectional volatility of stock returns 即係對比在同一時間點內所有stock returns 同 mean of stock returns 相比下得出的一個數，用std去計，就得出 standard deviation of stock returns in that period (cross sectionally)

首先要知道:

rp = portfolio returns

zi = time t 時的交易因子轉變成 z-score後的數值 (constant)

mean of r = cross-sectional (同一時間點) 不同 assets 的 returns 平均數 (constant)

ri = time t+1 時的asset回報 (未知隨機數)

rp = ⅀ (zi * ri) = ⅀ zi ( mean of r + (ri - mean of r)) = (mean of r) ⅀ zi + ⅀ zi (ri - mean of r)

先講解一下以上式，講緊既係一個portfolio既realized returns 係由 summation of 兩樣野組成，一係zi，二係 ri。zi其實就係係time t 時的交易因子值 (當然係standardized到mean of 0及std of 1)，換言之其實zi即亦係個asset係time t時既weightings，而個唔難理解。

但之後有位朋友仔就問，點解之後要做( mean of r + (ri - mean of r))? 原因係我想整到變成 (mean of r) ⅀ zi + ⅀ zi (ri - mean of r)，純粹一種簡單數學上運算，減左舊野就要加返舊野。但點解我要變成我講既而個樣? 因為你會發現，當我地assume左z-score has a mean of 0個陣，咁其實 (mean of r) ⅀ zi就直接等於0，所以rp就直接等於 ⅀ zi (ri - mean of r)。

第一，有人會話，痴線咩，咁樣assume 交易因子有mean of 0 得唔得架? 其實就唔係交易因子係mean of 0，而係z-score mean of 0。因為雖然交易因子值通常都唔係mean of 0，你都可以將佢standardize變z-score做 mean of 0，所以而個assumptions係人為一定可achieve。

第二，點解要將佢變做  ⅀ zi (ri - mean of r) 既樣? 而個我暫時唔解釋住，睇埋下面既講解就明。

Expected value of rp = E ⅀((zi - mean of z)(ri - mean of r)) = N * cov (zi, ri) =

N correlation(zi, ri) sigma z sigma r = N IC * sigma r

明顯地，而條式唔係計 portfolio returns， 而係計expected portfolio returns。推導過程簡單易明唔多講，但之前講點解要將佢變做 ⅀ zi (ri - mean of r) 既樣就正正因為方便之後將佢一樣變成 N cov(zi, ri) ，因為 1/n ⅀ zi (ri - mean of r) = cov(zi,ri) ，咁 ⅀ zi (ri - mean of r)  就等於 N * cov(zi,ri)。

最後得出就係 N * IC * sigma r =  expected portfolio returns。當N越高 / IC越高 / sigma r 越高而其他兩個項不變個陣，個expected portfolio returns 自然會高。

換句說話講，即係當在一個時間點入面:

1. N既意思: 越多Assets (而度我用股票做例子，例如越多股票included黎做預測)。再進一步推進既係，你有足夠能力做到交易的Assets，e.g. 流動性低+你好難做既股票當然唔當係有效既N

2. IC既意思: 醒既朋友都應該估到，並唔係越多股票就越好，仲要個因子係可以應用係而一堆股票，做到好既預測關係，咁先叫好，個IC先會高。

3. sigma r 既意思: 有波動，當然drawdown理應都大左，但如果無波動，就大機會無咩回報

所以點解正如之前文章講過，要有效從統計學角度去提高portfolio returns，通常我建議係做cross sectional 預測 (比純time series預測通常在統計學上更robust)  而唔係time series 預測。

係做cross sectional 預測既時侯，其中一個目的係提高portfolio returns，咁就必須要考慮夠大的investment univerise，以及搵到有generalization能力的交易因子去提升IC值。道理就係咁簡單，希望大家明白唔好鑽錯邊，唔係話鑽錯邊搵唔到alpha，但難度可能真係會比我講既十幾個因子搵好股票，另外十幾個搵壞股票去形成一個L/S portfolio 更大，更難搵到alpha。希望大家理解個推導，同埋最重要係認清行內既人係點做交易系統，慳返大家做research既時間。

第一次寫推導文，反應唔知點，可能您覺得今篇文既內容太深，不過今個月仲有兩樣行內野等同大家share, can’t wait!

Cheers，

阿程